Норвежкият математик Нилс Абел е живял едва 26 години, но е оставил в наследство фундаментални разработки. Неговите изследвания са така смели и прецизни, че са го нарекли "Моцарт на математиката".
Нилс Хенрик Абел е роден на днешния 5 август преди 220 години на остров Финьо, близо до Ставангер. Баща му е беден лутерански свещеник, който скоро след раждането на Нилс се премества със семейството си в енорията на Гйерстад до град Рисьор в Югоизточна Норвегия.
13-годишен Нилс е изпратен с батко си Ханс Матиас да учи в Осло, където постъпва в Катедралното училище. Математическият му талант е забелязан 2 години по-късно, когато пристига новият учител по математика Бернд Микаел Холмбьо. Именно той запознава Абел със специализирана литература и му предлага оригинални проблеми, които да решава. Абел изучава трудовете на Исак Нютон и Леонард Ойлер, на съвременниците си Жозеф-Луи Лагранж и Карл Фридрих Гаус. Завършва училището със степен "кандидат по философия" (Candidatus philosophiae).
Бащата на Абел умира през 1820 г., като оставя семейството си в тежко финансово положение. Но учителят Холомбьо започва да набира средства, за да може младият талант да учи в университет. През 1821 г. Нилс се явява на приемните изпити в Университета на Осло (тогава Кристиания) и ги взема със средни оценки по всички предмети, с изключение на математика и физика, където е изключителен.
Още на следващата 1822 г. Абел получава предварителна степен от университета и продължава обучението си самостоятелно, подпомогнат със субсидии от учителя си Холомбьо.
Първата му научна работа е отпечатана в местното „Списание за естествени науки“ (Magazin for Naturvidenskaben). След това написва още няколко кратки математически статии, издадени в следващи броеве. Една от тях съдържа решението на интегралното уравнение и това полага основата на изключително важен дял на математиката.
През зимата на 1822 - 1823 г. Абел завършва първия си голям труд, посветен на интегрирането на диференциални уравнения. Това става повод неговите приятели, начело с Холомбьо, да призоват краля да му отпусне стипендия за обучение в Германия и Франция.
През 1824 г., докато чака кралския указ, геният публикува своето доказателство за невъзможността алгебрично - чрез радикали (с извличане на корен), да се реши общото уравнение от пета и по-висока степен, с което се надява да получи още по-голямо признание.
Изпраща работата си и на Гаус, но той я отхвърля,
без да признае, че проблемът наистина е решен.
След отпускането на стипендията Абел поема към Германия през септември 1825 г. Планът и условията в указа са той да отиде първо именно при Гаус в Гьотинген, а след това в Париж. Но когато стига до Копенхаген, маршрутът е променен и младежът пристига в Берлин. Там се запознава с Август Леополд Креле - строителен инженер и математически ентусиаст, който става негов близък приятел и ментор.
Заради него Креле създава Journal für die reine und angewandte Mathematik ("Журнал за чиста и приложна математика"), станал известен като "Журналът на Креле" (впрочем, списанието още съществува и продължава да има добра международна репутация). Първият му брой съдържа работи на Абел, включително по-сложна версия на разработката му за уравненията от пета и по-висока степен. Норвежецът публикува в журнала и свои идеи за теория на уравненията, теоретична механика, теорията за елиптичните комплексни функции, по която работи едновременно с германеца Карл Густав Якоби.
Тъй като при пътуването Абел е част от група млади норвежки учени, повечето от които изучават минералогия и геология, той трябва да се съобрази и с техния интерес - Южна Германия, Австрия, Швейцария и Северна Италия. През февруари се озовава за няколко месеца и във Венеция.
Стига до Париж - тогавашният център на математиката, едва през юни 1826 г. и пише: "Най-после пристигнах във фокуса на всичките си математически надежди“, като обяснява дългото отклонение така: "Желанието ми да видя и част от Европа беше голямо. Трябва ли да ограничаваме пътуванията си само до изследването на строго научното?".
В Париж Абел се свързва с изтъкнати математици.
В наетата малка стая написва своя Парижки трактат,
съдържащ неговата теорема за елиптични интеграли. Впечатляващото в него е монументалната обобщеност в изложението на проблема. Трактатът отваря области за изследване, в които и до днес се правят нови открития и той продължава да е крайъгълен камък в историята на математиката.
Абел предава трактата на Френската академия на науките в края на октомври 1826 г., подписвайки го „par N. H. Abel, Norvegien“ (от Н. Х. Абел, норвежец). Остава в Париж до края на годината и докато чака отговор, завършва няколко други изследвания. Трактатът обаче е оставен без отговор и до края на живота си математикът счита, че е загубен завинаги.
Престоят в Париж завършва с разочарование, а освен това Абел се разболява от туберкулоза. В самия край на 1826 г. той заминава при приятелите си в Берлин. Предлагат му да стане редактор на "Журналът на Креле", но той отказва.
Носталгията го връща в Норвегия, затънал в дългове и болен.
Издържа се с частни уроци и от малък грант от Университета на Осло, където през 1828 г. заема временна преподавателска длъжност. Бедността и болестта му не намаляват неговата математическа "производителност" и той пише голям брой разработки - главно върху теория на уравненията и елиптичните функции. Сред тях е и теорията за полиномни уравнения с Абелови групи.
По това време славата му на брилянтен математик вече се е разпространила и група математици от Френската академия ходатайства да му се осигури подходяща позиция. Те пишат дори на краля на Норвегия и Швеция Карл XIV Йохан. Креле пък опитва да му уреди професорско място в Берлин.
През есента на 1828 г. обаче състоянието на Абел се влошава, а туберкулозата му става много тежка след едно пътуване с шейна за Коледа при годеницата му във Фроланд. Именно там е прикован на легло и на 6 април издъхва едва на 26-годишна възраст.
Трудовете на Абел обаче продължават да вълнуват математическата общност и са доразработени. Откритията му обуславят развитието на теорията на Галоа и теорията на функциите на комплексна променлива. На негово име са наречени редица теореми – за непрекъснатост, за алгебричните уравнения, за приводимостта на сумата на абеловите интеграли, за степенните редове, за редовете на Дирипле и др.
През 1839 г. учителят му Холомбьо издава в Осло неговите „Събрани съчинения“ в два тома. Две години по-късно пък Френската академия на науките публикува неговите мемоари.
През 2002 г. в чест на 200-годишния юбилей от рождението на гения норвежкото правителство учредява Абелова награда за математика, към която има и премия от 7.5 млн. крони (725 000 евро). В негова чест е наречен и кратер на обратната страна на Луната - кратерът Абел.
